Difrensial ( Turunan)

Awal mulanya ilmu turunan atau yang disebut Difrensial muncul dalam permasalahan garis singgung oleh ilmuwan besar Yunani, Archimedes (287 s.d. 212 SM). Permasalahan kemudian berkembang ke arah benda bergerak, yaitu masalah kecepatan sesaat. Euclid mengungkapkan gagasannya tentang garis singgung yang menyentuh kurva pada satu titik, gagasan tersebut berfungsi untuk persamaan lingkaran tetapi tidak berfungsi pada beberapa kurva.

Perhatikan gambar di bawah!

Definisi Turunan

Jika y adalah suatu fungsi dari x atau y = f(x), maka f'(x) = y'(x) atau $\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}}$ seluruhnya menyatakan turunan pertama dari f terhadap x.
Turunan suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai

$f'(x)\;= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\textrm{f(x+h)}-\textrm{f(x)}}{h}$

asalkan nilai limitnya ada

Contoh penggunaan definisi di atas untuk mencari nilai turunan:
Tentukan turunan pertama dari persamaan $f(x) = 13x + 8$ , menggunakan definisi turunan!

Penyelesaian:

Penggunaan definisi diperlukan ( teorema - teorema) untuk menentukan suatu persamaan.

Teorema 1

Contoh Penggunaan Teorema 1:

Turunan pertama dari fungsi y = 7 adalah …

Pembahasan:
Tujuh (7) merupakan konstanta sehingga turunannya adalah 0.

Teorema 2 (Aturan Fungsi Identitas)

Jika $f(x)= x$ maka $f'(x)=1$ , atau dinotasikan melalui persamaan berikut.

$\frac{d}{dx}x\;=1$

Bukti:

7 $f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{x+h-x}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h}{h}\;$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \; 1 \; = \; 1$

Teorema 3 (Aturan Pangkat)

Contoh Penggunaan Teorema 3:

Turunan pertama dari fungsi $y=x^{9}$ adalah …

Pembahasan:
Penggunaan teorema 3 untuk mencari persamaan $y=x^{9}$ maka turunan pertamanya adalah

$\frac{d}{dx}x^{9}=9 \cdot x^{9-1}= 9x^{8}$

Teorema 4 (Aturan Kelipatan Konstanta)

Contoh Penggunaan Teorema 4:

Tentukan turunan pertama dari $f(x)=-5x^{4}$ !

Pembahasan:
Berdasarkan teorema 4 maka akan diperoleh hasil

$f'(x)=\frac{d}{dx}-5x^{4}$

$f'(x)= -5 \frac{d}{dx}x^{4}$

$f'(x)= -5 (4x^{3})$

$f'(x)= -20x^{3}$

Teorema 5 (Aturan Jumlah)

Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka $(f+g)'(x)=f'(x) + g'(x)$ atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

$\frac{d}{dx} \left[ f(x) + g(x) \right] \; = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx}g(x)$

Bukti:
Andaikan $F(x)\;=\; f(x) + g(x)$ maka

$F'(x) \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[f(x+h)+g(x+h)\right]-\left[ f(x) + g(x)\right]}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h) - g(x)}{h}\right]$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h}$

$= f'(x) + g'(x)$

Teorema 6 (Aturan Selisih)

Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka $(f+g)'(x)=f'(x) - g'(x)$ atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

$\frac{d}{dx} \left[ f(x) - g(x) \right] \; = \frac{d}{dx} f(x) - \frac{d}{dx}g(x)$

Bukti:
Andaikan $F(x)\;=\; f(x) - g(x)$ maka

$F'(x) \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[f(x+h)-g(x+h)\right]-\left[ f(x) - g(x)\right]}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+(-1)\frac{g(x+h) - g(x)}{h}\right]$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \rightarrow 0}(-1)\frac{g(x+h) - g(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h}$

$= f'(x) - g'(x)$

Teorema 7 (Aturan Hasil Kalii )

Contoh Penggunaan Teorema 7

SOAL UN SMA MAMTEMATIKA IPA 2016
Jika diketahui $f(x) = (3x^2-2)(5x-4)$ , maka $f'(x)$ = ….
A. $45x^2-24x-10$
B. $-45x^2-24x-10$
C. $45x^2+24x-10$
D. $45x^2-24x+10$
E. $-45x^2-24x+10$

Pembahasan:
Hasil turunan $f(x)$ dari persamaan di atas dapat diselesaikan menggunakan rumus

$f(x) = u \cdot v \rightarrow f'(x) = u'v + uv'$

Misal:

$u = 3x^2-2 \rightarrow u'=\frac{du}{dx}=6x$

$v = 5x-4 \rightarrow v'=\frac{dv}{dx}=5$

$f'(x) = 6x(5x-4) + 5(3x^2-2)$

$=30x^2-24x+15x^2-10$

$=45x^2-24x-10$

Jawaban: A

Teorema 8 (Aturan Hasil Bagi)

Contoh Penggunaan Teorema 8

Tentukan turunan pertama dari persamaan $f(x) = \frac{2x - 3}{x^{3} + 5}$ !

Pembahasan:
Untuk mencari turunan pertama $f(x) = \frac{2x - 3}{x^{3} + 5}$ dapat langsung menggunakan Teorema 8 yang telah dibuktikan di atas.

Misal:

$u = 2x-3 \rightarrow u'=\frac{d}{dx}(2x-3)=2$

$v = x^{3}+5 \rightarrow v'=\frac{d}{dx}(x^{3}+5)=3x^{2}$

$f'(x) = \frac{(x^{3}+5)(2) + (2x-3)(3x^{2})}{(x^{3}+5)^{2}}$

$f'(x) = \frac{2x^{3}+10 + 6x^{3}-9x^{2}}{x^{6} +4x^{3} +10}$

$f'(x) = \frac{8x^{3} - 9x^{2} + 10}{x^{6} + 4x^{3} + 10}$

Integral Dasar – Pengertian, Integral Tak Tentu, Integral Trigonometri

Pengertian Integral

Integral merupakan bentuk operasi yang menjadi kebalikan (invers) dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian tersebut ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Pertama, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut sebagai Integral Tak Tentu. Kedua, integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu disebut integral tentu.

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu seperti sebelumnya dijelaskan merupakan invers/kebalikan dari turunan. Turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri. Perhatikanlah contoh turunan-turunan dalam fungsi aljabar berikut ini:

f(x) = y = x3 + C

Sebagai contoh lihatlah integral aljabar fungsi-fungsi berikut:

$\int 4x^3dx=\frac{4}{(3+1)}x^{(3+1)}+ C = x^4 + C$
$\int \frac{1}{x^3}dx = \int x^{-3} dx = \frac{1}{(-3+1)}x^{-3+1}+C$
$= -\frac{1}{2}x^{-2}+C = -\frac{1}{2x^2}+C$
$\int 4x^3 - 3x^2 dx = \frac{4}{(3+1)} x^{(3+1)} + \frac{3}{(2+1)}x^{(2+1)}+C$
$= x^4+x^3+C$

Integral Trigonometri

Fungsi f(x) = y	Turunan $\frac{dy}{dx}$	Integral
$y = \frac{1}{a} \sin(ax+b)$	cos (ax + b)	$\int \cos (ax+b) dx$ = $\frac{1}{a}$ sin (ax + b) + C
$y = - \frac{1}{a} \cos (ax + b)$	sin (ax + b)	$\int \sin (ax+b) dx$ = $-\frac{1}{a}$ cos (ax + b) + C
y = $\frac{1}{a}$ tan (ax + b)	sec2 (ax + b)	$\int \sec^2(ax+b)dx$ = $\frac{1}{a}$ tan (ax + b) + C
y = $-\frac{1}{a}$ cot (ax + b)	csc2 (ax + b)	$\int \csc^2(ax+b) dx$ = $- \frac{1}{a}$ cot (ax + b)
y = $-\frac{1}{a}$ sec (ax + b)	tan (ax + b) . sec (ax + b)	$\int$ (ax+b) . sec(ax + b) dx= $\frac{1}{a}$ sec (ax + b) + C
y = $-\frac{1}{a}$ csc (ax + b)	cot (ax + b) . csc (ax + b)	$\int$ cot (ax + b) . csc (ax + b) dx = $-\frac{1}{a}$ csc (ax + b)